Zaman Serilerindeki Yeni Gelişmeler
12 Temmuz 2007
ZAMAN SERİLERİNDEKİ YENİ GELİŞMELER
Özet:
Burada dogrusal olmayan zaman serileri modellerinde son zamanlardaki gelişmeleri, dogrusal modellerin temel teorilerinin özet bilgileriyle açıklayacağız
1.Giriş:
Zaman serileri analizindegeleneksel metodlar; ağırlıklı olarak durağanlık ve doğrusallık varsayımlarınadayanır. Durağanlık, stokastik prosese göre verileri oluşturmak olasılıksal özellikleri invariant olandır. Oysaki Doğrusallık, geçerligözlemlerin doğrusal kombinasyonlarının ifadesi ve bir White-noise prosesin (bağımsız rassal değişkenler serisi) geçmiş değerleridir. Bu çerçevede model sınıflarından en popüler olanı ARMA (mixed otoregresif-hareketliortalama) prosesi, ilk kez Box-Jerkins (1970) de ortaya çıkmış ve bu tip model geleneksel uygun modelmetodolojisinin çoğu için desteklenmekte kanıtlanmaktadır. Bununla beraber geçen 5yıl süresince yada doğrusalolmayan modellerin territory si bağlantılı birşekilde araştırılmamıştır ve doğrusal olmayan modellerin sayıları arttı. Deneyim çok uzun kazanç göstermek, doğrusal lmayan modeller analizi yapanlara daha geniş alan sunmaktadır. Geleneksel doğrusal modellere göre ve zengin bir yapısal değişiklik çoğaltmakta, buda doğrusal olmayan diferansiyel eşitliklerinin çalışmaları ile bazı tipik ortaklık içermektedir (limit döngüsü).
2.Doğrusal Modellerin Temel Teorileri:
White-noise prosesi zaman serilerinin tüm biçimlerinde { } ile gösterdiğimiz Blok Oluşturma dır. Burada , White-noise prosesi sıfır ortalamalı rassal değişkenlerle, sabit varyans, nın serisi olarak ifade edilmektedir, =0, .
Genel kesikli zaman serileri parametresi verilen, bir model tanımlanırken gelecek, şimdiki ve geçmiş gözlemlerin fonksiyonlarını buluruz. Bu dönüşüm, bir White-noise proseste verilen serilerdir. Böylece, bir h fonksiyonu şöyle olur,
(2.1)
konuda, dogrusal modellerin sınıfı, h fonksiyonunun dogrusal olması durumuna uyuyor, böylece (2.1) şu formu alır,
(2.2)
bu dogrusal olmayan modellerin genel yapısıdır ama beklenen, geçmiş degerlerde oldugu gibi gelecek degerlerede baglı olarak onaylanmaktadır. Uygulamada, yi yalnızca geçmiş degerlere baglı oldugunu varsayıyoruz, u<0, (2.2) tek yanlı biçiminde yeniden yazıldıgında,
(2.3)
B operatörünün degişimi (hareketi) B olarak ifade edilmiştir, (2.3) şu formda ifade edilebilir,
(2.4)
(2.5)
oldugunda (2.4) eşitligi, , nin şimdiki ve geçmiş degerlerinin dogrusal fonksiyonu gibi çözülebilir. Böylece (2.4) ün tersi formül olarak şöyle yazılabilir,
(2.6)
ve eger yakınsak serisi için genişletilirse (H(z) de sıfır olmayacak ve birim çemberin içinde olacak) şöyle yazılır,
(2.7)
şimdi yi açıkça yazabiliriz.
(2.8)
yada
(2.9)
(2.10) da
not= yada
(2.8) eşitligi bize genel (beklenmedik) dogrusal model için alternatif bir formül veriyor ve dogrusal modelde bir White-noise proses nin şimdiki ve geçmişteki degerlerini dogrusal kombinasyonları gibi ifade edilmiştir.
2.1 AR, MA ve ARMA modelleri
Genel dogrusal model (2.3) yada (2.8)de verildigi gibi belirtilmemiş parametre sayısıveriye direk uyamayacak şayet bundan başka varsayımlar almazsa. Bu bölümde, belirli zaman serileri modelleri uygun oluyor, sonlu model parametreleri standart setini kullandıgımızda (2.8) de genel dogrusal modelde özel bir durum ortaya çıkıyor. Bu varsayılırsa, sonlu derecedeki polinoma yaklaşır,
(2.11)
böylece (2.8), AR(k) (k dereceden otoregresif model) modele denk gelir,
(2.12)
Diger yandan, ye yaklaşırsak sonlu derecedeki polimonla
(2.13)
böylece (2.8) MA(1) (hareketli ortalama 1 gecikmeli) forma denk gelir,
(2.14)
Şayet ve (z) iyi olan fonksiyonlarsa, dogruluk derecesi keyfi olan yeterli yüksek derecede sınırlı polinoma yaklaşır. Böylece, genelde genel dogrusal model yeterli yüksek dereceden AR ve MA modellere yaklaşır. Bununla beraber daha ihtiyatlı nin sonlu parametresi rasyonel fonksiyona yaklaşır yi şu biçimde alırsak,
(2.15)
(2.8) ARMA(k,l) modele uyar (karışık otoregresif- hareketliortalamalar(k ve l) gecikmeli),
(2.16)
bu model açık bir şekilde şöyle yazılabilir,
(2.17)
[ daha genel ARIMA modeller, Box ve Jerkins (1970) belirli, (2.17) de faktör biçiminde durumunda çalışmaktadır. Bu durumda d.dereceden z=1 ve sonuç olarak duragan olmayan durum içermektedir. d. Fark , genelde duragan oldugu halde]
STATE-SPACE temsil etme
Genel ARMA (2.16) modelinin yeniden yazılmasında ilginç bir yol vardır. State-Space (yada Markovian) temsili kullanılır. Doğrusal model herhangi sınırlı parametresinin yoğun tanımını sağlar. Bu temel fikir; tamamen iyi bilinen sonuca dayanır. Bu sonuç, herhangi sonlu dereceden doğrusal diferansiyel yada fark eşitsizliği, 1.derceden vektör olarak tanımlanır. Örneğin, AR(2) modelini alırsak
(2.18)
yazarız ve (2.18) şu şekilde yazılabilir.
(2.19)
(2.19) ve (2.20) eşitliklerin ikisi tamamen (2.18)e eşittir ama bununla beraber (2.18); 2 bağımlı aşaması (öyleki Markovian olmayan) vardır, (2.19) sadece 1 bağımlı aşaması (öylrki Markov vektörüdür.)vardır.[(2.18) ifadesinin hilesi (2.19) daki; Markov yönteminin vektörü gibi sadece sınırlı bağımlı aşamayı içeren, Markov yöntemi olmayan tiplerin kesin yazım tekniğinin, özel durum gibi alternatif görünümüdür.]
aynı yaklaşım genel ARMA modelinin yazımındada kullanılır. (state-space biçiminde). Böylece (2.16) da i bu şekilde varsayarsak (2.16)yı yeniden yazıdığımızda şöyle olur.
(2.21)
( olduğunda) ve state-space biçiminde tekrar yazılırsa (2.21)in doğruluğunun araştırılması kolay olacaktır.
x(t+1)= x(t)+ (2.22)
Hx(t) (2.23)
lık matrisi bu şekilde verildiğinde,
lik matrisi;
lık H matrisi;
H=(0,0,…,0,1)
Ve lik vektörü, şöyle bölünmüştür;
x(t)=
[aslında , sadece (2.21) deki değişkeni ve terimi olarak tanımlanır]. Bu formülde x(t) ye state vektör, sistem matrisi, girilen matris, H gözlemler matrisi denir. [ (2.21) içn koşul, durağan procesi birim çember üzerinde yada sıfırdan farklı matrisi sabit olduğundan, tüm özdeğerleri mod<1 ve takip eden şekilde x(t) durağandır.]
Akaike (1974), sonlu dereceden doğrusal modellerin çok genel denemelerini veriyor ve geometrik yaklaşım buda, minimal gerçeklik [state-space x(t) ile sunulur. x(t) en küçük olası boyuttur.] seçilen, state vektör x(t), t zamanda tahmin bölgesini esas alır. , verilen nin doğrusal en küçük kareler tahminlemesiyle space spanned adını alır. Bu alanın en önemli özelliği, modeller sonlu dereceden farklı eşitlikler yani sonulu k boyut olarak tanımlanır. Minimal gerçeklik, seçilen t zamanlı state vektörlerle, temel alındığında yapılır. Modeli, fiziksel sistem , ile (bu girdi) ve (buda çıktı), önceki state vektörün özelliği tanım zamanlı sistemin state inin fiziksel yorumlamasıyla, ( dan büyük eşit olan tam zaman noktaları için girdi ile beraber olan nicel set); tek karar dan büyük ve eşit olan tüm zaman noktaları için çıktı tam olarak uygundur.(girdi ve çıktı arasındaki ilişki sonlu dereceden farklılık yada farklara dayanan eşitik başlangıç koşullarının seti; state zamanda istenen saptama, tam t için farklara dayalı eşitliğin farkının çözümüdür.) sezgisel olarak, eski girdileri içeren gelecek çıktı bilgilerinin toplamı state de herhangi bir zaman noktasını düşündürüyor ve tam olarak bu bilgi tahmin setlerini içermekte yada karşılık olarak bu tahminlerin uzay aralığının temel değişkenlerinin herhangi bir seti içinde olarak düşünülür.
3. GENEL DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLER
(2.1) deki genek modele dönüyoruz. (2.1) deki fiziksel anlamlılık koşullarınıda yüklersek model;
(3.1)
ve bu modelin tersinin alınabileceğini varsayarsak [(3.1) deki çözümün terimlerinin için verilen açıklamasında] ve uygularsak;
(3.2)
İstatistiksel analizin (3.2) görüş noktasından, (2.1) deki gibi kontrol edilmesi zor fakat (3.2) parametrelerine, f fonksiyonunun analitik oldugunun varsayımıyla, sonrada belirri bazı noktalarla genişlemesi 0 noktası olarak söyleniyor. 0=(0,0,0,…). Bu verilen formal genişleme;
(3.3)
(0), ,… olarak yazıldığında formül yukarıdaki gibidir. Bu yayılma Volterra serisi olarak bilinir ve Wiener (1958), doğrusal olmayan sistemlerin çalışmasında öncüdür. Wienerın amacı, bu serilerin dönüşümünü oluşturmak buda, birbirlerini izleyen ortogonal terimlerdir, (ilişkisiz)-tercihen regresyon analizinde ortogonal polinomlar kullanılır. Bununla beraber, Volterra serisi gibi uygun olabilirikte seriler yok, ilk terim sonlu parametreler dizisini içerdiğinden 2.terim, 2 katı sonlu parametreler dizisini içerdiğinden beri sonlu veriler azalmıştır. Bu zorluktan kaçınmak; her iki varsayımla (a) dizilerininFourier dönüşümleri prosesi, kesin düzgünlük şartı yada (b) bilinmeyen parametrelerin yalnızca sonlu sayılarını içeren fonksiyonel form (bu dönüşümlerin herbiri bilindiği gibi) (a) yaklaşımı polyspectral analizi gösterir.[Brillinger (1970) yüksek dereceden momentlerin Fourier analizi].
Bu yapı, bilineer modeleuygun olabili,( her u için) ama in doğrusal fonksiyonları gibi setleri ile kesin yeterlilik ile yaklaşabilir, tüm doğrusal olmayan modeller. Şayet, , nın düzgün fonksiyonları iseyerel doğrusal fonksiyonlar gibi sunulabilirler. Bunun anlamı, her iki bağımlı state olarak izin verilirse bu parametrelerin dürüst genel sunumunu uygulayabiliriz. nun fonksiyonel formlarının, özel problemleri ile karşı karşıyayız ama belli bir amacı olmayan yani ve saf olarak zamana bağlı parametrelere izin vererek, bu zorluktan kaçınabiliriz. Verilen SDM düşünülübilir esnakliği ve rassallık formunda belli bie amacı olmayan ve ye izin verdiğimizde, tahmin prosedürünü oluştururuz, hert için , nın bu değerleri belirtilir, bu model hesabında ile onun tahminleyicisi arasındaki farkı minimum yapmak. Tahmin prosedürü, algortmanın dizisel tipinden alınmıştır. Benzer şekilde Kalman Filter algoritması doğasındaki gibi.
Tahmin algoritması, tercihen bazı istatistiksel özellikler içerir ve SDM model tipi saf AR ın referansıyla bu işlemi basitçe biçimlendirebiliriz[tüm tanımlar için, Haggan et al (1984)e bak]. SDM modeli (4.4)ü düşündüğümüzde, her u için ve farklı state-space formda yeniden yazıldığında, state vektörü artık daha fazla state serilerini sunmuyor ama şimdi konu ile ilgili tüm parametrelerin istatistiğini sunuyor. vektörü tanımlandığında
[ nin içinde yazılgığında ve benzer olarak diğer parametreler içinde yazıldığında]
(4.4)ü formda ifade edersek,
(4.6)
biçiminin gelişmesini sağladığında
(4.7)
(4.6) ve (4.7) eşitlikleri, Kalman filter ın uygulanabileceği standart formdadır. Şayet, (t-1) zamanının üstünde gözlemlerin temel alındığı, ın tahminleyicisi oluşturulur. Sonra verilen bir sonraki gözlem , formda yer aldığı için şimdiki eşitlik
Kalman yararı matrisi, standart recursive algoritmasından, Kalman filter için hesaplanır.[Jazwinski (1970)]. Böylece, her zaman noktasında, parametrelerin herbirinin yeni tahminlerini yı elde edeceğiz ve bu tahminler plot edildiğinde uygun alan state vektörüne karşı olur. Bu yolla parametre fonksiyonlarının herbiri için ordinate state leri için derce dere oluştururuz ve bu ordinateler, rutin standart standart parametrik olmayan fonksiyonunun biri uygulandığında, düzgün yüzeye taşınır. (Priestley ve Chao, 1972) . bir kez bu yüzeyler oluışturulmuş, doğrusal olmayan modelde, kazanç anlayışı şekli gözden geçirilmiştir.
Bu teknikler, farklı veri setlerinin (fiziksel veri ve similasyon içerir) geniş değişkenliği başarılı olarak düşünülmesiyle uygulanır ve bazı çok ilginç sonuçlar üretilir. Bilinen (doğrusal olmayan) modelden simule verileri uygulandığında, SDM yaklaşımı yüzey parametresini yeniden üretiyor, öyle ki açıkça doğru model yapısını gösterir. Bu taknik, bilgisayar grafiklerinin kapsamlı kullanımıyla bağlantılıdır. Doğrusal olmayan özel forma, herhangi önceki taahütsüz, doğrusal olmayan modelle çalışmaları için, zaman serileri analizleri güçlü bir metot önermiştir. Bu sayısıal çalışma yarımtılı olarak Haggan et al (1984)de verilmiştir.
Kategori: Genel kültür