Ödevsel

Kaynaklar:1)fikri Akdeniz Array - İstatistik Ve Olasılık

12 Temmuz 2007

KAYNAKLAR:1)Fikri AKDENÄ°Z - Ä°STATÄ°STÄ°K VE OLASILIK

2)Fikret İKİZ , Halis PÜSKÜLCÜ ,Şaban EREN-İSTATİSTİĞE GİRİŞ

3)Özer SERPER - UYGULAMALI İSTATİSTİK-2

Yrd.Doç.Dr. Neşe BAŞER

Ä°zmir/2001

İSTATİSTİKSEL SONUÇ ÇIKARMA (KARAR TEORİSİ)

Önceki bölümlerde örneklem ve ana kütleye ait özellikleri ortaya çıkarmak,olasılık teorisinden yararlanarak ana kütle parametreleri ile ilgili tahminler yapmak ve tahmin hatasını istenilen düzeye düşürmek için gerekli yöntemleri gördük. Uygulamada çoÄŸu zaman örneklem istatistikleri yardımıyla ana kütle parametreleri hakkında bir karara varmaya da çalışılmaktadır .Meselâ bir kimyasal yöntemde yapılan deÄŸiÅŸikliÄŸin mamul kalitesini yükseltip yükseltmediÄŸi veya geliÅŸtirilen bir öğretim sisteminin eskisine göre bir farklılık gösterip göstermediÄŸi gibi konularda karar verilmesi gibi…Kimyasal yöntemde veya öğretim sisteminde yapılan deÄŸiÅŸikliklerden önceki ve sonraki veriler arasında bazı farklar şüphesiz bulunabilir. Burada önemli olan nokta,bu farkların rassal seçimin sonucu olan örnekleme hatalarından mı ileri geldiÄŸinin,yoksa gerçekten bir deÄŸiÅŸmeyi mi ifade ettiÄŸinin tesbitidir.Söz konusu farkların istatistik açısından anlamlı olup olmadığı konusunda bazı testler sonucunda bir karara varabilmek mümkündür. Bu testlerin mahiyeti ve hangi hallerde hangi tür testlerin kullanılacağı bizim anlatacağımız hipotez testleriyle açıklanacaktır.

HÄ°POTEZ TESTLERÄ°

Genel olarak hipotezlerin bir durum hakkında ileri sürülen varsayımlar olduğu bilinmektedir. ‘‘İstatistiksel hipotezler’’ ise ana kütlenin durumu hakkında ileri sürülen ve geçerliliği olasılık ilkelerine göre araştırılabilen varsayımlardır. İstatistiksel hipotezlerin diğer hipotezlerden farkı,hipotezin bir frekans bölünmesini ifade etmesidir. Meselâ,belirli bir markayı taşıyan akülerin ortalama ömrünün 1850 saat olduğunu ileri sürdüğümüzde bir hipotez önermiş oluruz. Bu hipotezin anlamı,normale uyan bir frekans bölünmesinin aritmetik ortalamasının 1850 saate eşit olduğudur. Bir hipotezin ya doğru ya da yanlış olacağı açıktır. Gerçeği öğrenmek için ilk akla gelecek yol,hipotezle ilgili ana kütledeki bütün birimlerde değişken değerini öğrenmek yani tam sayım yapmak yapmaktır. Ne var ki daha önce belirtildiği gibi bu yol çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine ana kütleden rassal olarak seçilmiş bir örneklemdeki birimler incelenir ve bu örneklemden hareketle hipotezin geçerli olup olmadığı hakkında bir hükme varılmaya çalışılır. Örneklem istatistiklerinden yararlanmak suretiyle bir hipotezin geçerli olup olmadığını ortaya koyma işlemine ‘‘İstatistiksel hipotezlerin testi’’ denilir. Farklı örneklemler farklı sonuçlar ortaya koyabildiğinden,istatistiksel testin hipotezi tam ispat etmesi ya da etmemesi gibi kesin bir durum söz konusu olamaz. Nitekim belirli bir markayı taşıyan akülerin ortalama ömrüyle ilgili hipotezin geçerliliğini ortaya koymak için aküler arasından 300’er hacimlik iki örneklem seçildiğinden,sözgelimi birinci örneklemden 2170 saatlik,ikinci örneklemden 1490 saatlik bir ortalama elde edelim. Olasılık teorisi eğer hipotez doğruysa genellikle hangi değerler arasında yer alacağını belirlediği için,istatistiksel testin hipotezin ne derece güvenle kabul ya da reddedilebileceğini göstermesi mümkün olmaktadır.

Basit ve Bileşik Hipotez:Bir istatistiksel hipotez kitle yoğunluğunun parametrelerini ya da olasılık fonksiyonun formunu tam olarak belirtiyorsa hipoteze basit hipotez denir. Aksi haldeki hipoteze ise bileşik hipotez denir.(Tam belirtmiyorsa bileşik hipotez)

Örnek:Tek zarla oynanan bir zar oyununda 1,2,3 gelirse A oyuncusu kazanıyor,aksi halde kaybediyor. Normal olarak kazanma olasılığı ‘dir.

için hipotez testi yapılabilir. Bu örnek basit hipotezdir. X ,A oyuncusunun kazanma sayısı ise bu takdirde X,n (genellikle bilinir) ve p (hipotezle belirtilir) parametreleri ile binom olasılık fonksiyonuna sahiptir.

Örnek:Kitle üstün zekalı öğrencilerin bir grubundan oluşmuş ve bu grubun zeka puanlarının ortalaması m ise m 120 hipotezi test edilir. Bu örnekte ne parametrenin değeri ne de yoğunluk belirtilmiştir. Yoğunluk bilinse bile m hala belirtilmemiştir. Böylece hipotez bileşiktir sonucuna varırız.

Sıfır Hipotez Ve Karşıt Hipotez:İstatistiksel hipotezlerin testinde bir hipotezle onun karşıtı olan diğer bir hipotezden hangisinin örneklemden elde edilen sonuçla daha iyi bağdaştığı araştırılmaktadır. Karşılaştırılan iki hipotezden birine ‘‘Sıfır Hipotezi (H0)’’ diğerine ‘‘Karşıt Hipotez (H1 veya Ha)’’ adı verilir. Gerek sıfır hipotezi gerekse karşıt hipotez birer istatistiksel modeldir. Çünkü her ikisi de ‘‘İstatistiksel model,bir değişkenin özelliklerini Matematiksel olarak belirleyen bir ifadedir.’’ tanımı kapsamına girmektedir.

Hipotezlerin daima örneklem alınmadan önce oluşturulması gerekir. Çünkü örneklem alındıktan sonra bu sonuçlara göre mutlaka reddedilecek veya kabul edilecek hipotezler oluşturulabilir ki ,bu tip bir uygulama bilimsel araştırmanın gereği olan objektiflikten yoksun olacaktır.

(Ana kütle parametresi hakkındaki bir hipotez,ana kütle parametresinin belirli bir hüküm niteliğindedir,ve formüle edildikten sonra örneklem istatistiğine göre kontrol edilmektedir.)

Bir problemin çözümüne başlamadan önce oluşturulan hipoteze göre,ana kütlenin bilinen değeri ile örneklemden elde edilen değer arasında bir ‘‘fark olmadığı’’ kabul edilerek,buna H0 denilir. Söz konusu iki değer arasında ‘‘önemli bir farkın olduğunu ” ileri süren diğer hipotez ise H1 olur.

Bir problemde hangi hipotezin H0,hangisinin H1 alınacağı konusunda şu ilkeye uyulur;Eskiden beri geçerli kabul edile gelmiş bir önerme,bunun aksi yeni bir görüşle karşılaştırılıyorsa geçerli sayılmış önerme H0,yeni görüş H1 olur. Eskiden beri geçersiz,şüpheli sayılmış bir önermenin aksini belirten yeni bir görüşle karşılaştırılmasında ise,yeni görüş H0,eski önerme H1 olarak dikkate alınır. Böylece geçerli olduğunu ispatlama sorumluluğu daima karşıt hipoteze verilmiş olur. Meselâ,genel seçimlerde A partisinin alacağı oy oranının %53 olacağı önerildiğinde,bu kanı genellikle paylaşıla gelmişse,söz konusu önerme sıfır hipotezi olur ve H0:m=0,53 şeklinde yazılabilir. Bu örnekte karşıt hipotez şu üç hipotezden biri olabilir:

H1:m>0,53

H1:m¹0,53

H1:m<0,53

Bazı hallerde test sonucunda H0 reddedildiğinde hiçbir karşıt hipotez kabul edilmeyebilir,yani çekimser kalınabilir. Fakat bu durumda bir karar verme söz konusu olamayacağından,bu gibi haller üzerinde durmaya değmez.

Bir sıfır hipotezinin geçerliliğini araştırmak için ilgili ana kütleden bir örneklem seçildiğinde,bu örnekleme dayanılarak H0 hipotezi için verilecek karar, H1 hipotezine göre değişik olabilir. Meselâ örneklemden %45 oranını hesapladığımızda

H0:m=0,53

H1:m>0,53

hipotezlerinden H0 ‘ı reddetmek uygun olmaz. Çünkü H0 reddedildiğinde geçerli kabul edilecek olan H1 hipotezi, H0 hipotezine göre örneklemle daha az bağdaşmaktadır. Buna karşılık

H0:m=0,53

H1:m<0,53

Durumunda ise,örneklemden elde edilen %45 oranı, H0 hipotezinin reddini gerektirir.

I. Ve II. Tip Hata:Bir hipotez testi yapılıp H0 hipotezinin kabulüne veya reddine karar verildiğinde şu dört durumdan birisi söz konusu olur:

H0 gerçekte doğru ve kabul edilmiştir.

H0 gerçekte doğrudur ve reddedilmiştir.

H0 gerçekte yanlıştır ve kabul edilmiştir.

H0 gerçekte yanlıştır ve reddedilmiştir.

Bu durumları bir tablo üzerinde özetleyelim.

Varılan Sonuç

Gerçek Durum

H0 DoÄŸru

H0 Yanlış

H0 Kabul

DoÄŸru Karar

II. Tip Hata(b)

H0 Red

I. Tip Hata(a)

DoÄŸru Karar

Yukarıdaki tablodan da anlaşılacağı gibi, H0 doğru olduğu halde test sonunda reddedilirse bir hata işlenir. Bunun aksine, H0 yanlış olduğu halde kabul edilirse,yine bir hata işlenmiş olur. Bu iki çeşit hata önem bakımından birbirinden farklıdır. Birincisine ‘‘I. tip hata’’ veya ‘‘alfa tipi hata (a)’’ ikincisine de ‘‘II. tip hata’’ veya ‘‘beta tipi hata (b)’’ denilir.

Hipotez testi yapılırken,bu hataları işleme olasılıklarının mümkün olduğu kadar küçük tutulmasına çalışılır.

Günlük hayattan alınabilecek şu örnek duruma açıklık kazandıracaktır: Ahmet ortağının kendisini aldattığından şüphelidir. Bu bakımdan birbirlerini tamamlayan

H0:Ortağım beni aldatıyor,

H1:Ortağım beni aldatmıyor,

Hipotezlerini ileri sürer. Bu önermelerin,doğrulukları henüz bilinmediği için,test edilmeleri gerekir. Hipotezlerin testi için elde bazı kanıtlar bulunmalıdır. Burada kanıtlar,ortağının sık sık yurtdışına çıkması,ev eşyalarını değiştirmesi,kendisinden daha lüks bir hayat yaşaması,vb olabilir. Kanıtların yeterlilik derecesi ne olursa olsun,varılacak sonuç hatalı olabilecektir. Yani Ahmet elindeki kanıtlara dayanarak ‘‘Ortağım beni aldatıyor’’ veya ‘‘Ortağım beni aldatmıyor’’ sonucunu çıkarırsa,bu iki sonuçta hatalı olabilir. Bu ifadelerimizi bir tablo üzerinde gösterelim.

Ahmet’in çıkardığı Sonuç

Ortağı Ahmet’i Gerçekten

Aldatıyor

Aldatmıyor

Ortağım beni aldatıyor

DoÄŸru Karar

II. Tip Hata(b)

Ortağım beni aldatmıyor

I. Tip Hata(a)

DoÄŸru Karar

Günlük hayattan alınan örneklerde söz konusu kararlardaki hatalar.I.tip hata ve II. tip hata gibi teknik terimlerle anlatılamaz. Bunun yerine ‘‘Dikkat et,ortağın sana kazık atıyor’’ veya ‘‘Günahını alıyorsun adamcağızın’’ gibi ifadeler kullanılır. Yukarıdaki örnekte yapılacak hatadan hangisinin daha önemli olduğuna Ahmet kişisel olarak karar verecektir. Oysa bilimsel çalışmalarda araştırmacı karar verirken benzeri bir kişisel tercih yapamazlar.

Testin Gücü:H0 hipotezi yanlış olduğunda H0 hipotezini reddetme olasılığına testin gücü denir. Ve güç 1-b’ya eşittir.

Anlamlılık Düzeyi:Bilimsel araştırmalarda I. tip hatadan,II. tip hataya göre daha çok sakınılır. Hatta hipotez testlerinde genellikle sadece I. tip hata kontrol edilir. I. tip hata yapmanın maksimum olasılığına testin ‘‘anlamlılık düzeyi’’ denilmektedir. Önceden tespit edildiğinden dolayı,bu tür hatayı azaltmak elimizdedir. Meselâ,%5 yerine %1 anlamlılık düzeyi kullanıldığında,a yani doğru bir hipotezin reddedilmesi olasılığı azalmış olur. Fakat a’yı küçültmek ana kütle parametresinden daha uzak olan örneklem istatistiklerini de kabul bölgesi içine dahil etmek demektir ki,bu davranış karşıt hipotezin doğru olduğu halde kabul edilmemesi olasılığını b’yı arttırır.

II. tip hata yapma olasılığı sıfır hipotezi gibi karşıt hipotez de tek bir değer halinde formüle edildiğinde hesaplanabilir. Meselâ,qa>q0 olmak üzere

H0:q = q0

H1:q = qa

durumunda b ile ifade edilen II. tip hata aşağıdaki gibi olur.

q0 C qa

Kabul Bölgesi ®¬Red Bölgesi

Grafik 1:II. tip hata

Örneklem hacmi sabit kalırken,a olasılığının azalması b olasılığının artmasına ve aksine a olasılığının azalmasına sebep olur. Hem I. tip hatanın hem de II. Tip hatanın azaltılması isteniyorsa,örneklem hacminin arttırılması yoluna gidilir. Ne var ki,bu çoğu zaman pahalı,bazen de imkansızdır. Dolayısıyla böyle durumlarda I. tip ve II. tip hatalardan hangisinin daha önemli olduğuna karar vermek gerekir. Bu konuya açıklık kazandırmak amacıyla şu iki örneği verebiliriz:

İlk olarak yeni bir yük asansörünün eskisinden daha fazla yük taşıdığının iddia edildiğini varsayalım. Burada ileri sürülecek hipotezler şunlardır:

H0:Yeni asansör eskisi kadar yük taşır.

H1:Yeni asansör eskisinden daha fazla yük taşır.

Sıfır hipotezi doğru olduğu (yani yeni asansör eskisi kadar yük taşıdığı) halde reddettik ve yani asansöre eskisinden daha fazla yük verdik. Yaptığımız I. tip hatanın sonucu:Asansör boşluğa düştü ve parçalandı.

Sıfır hipotezi yanlış olduğu (diğer bir deyişle yeni asansör eskisinden daha fazla yük taşıdığı) halde kabul ettik ve yeni asansöre eskisi kadar yük verdik. II. tip hatamızın sonucu;Taşıma maliyetinde beklenen azalma olmadı.

Bu örnekte “I. tip hata riskinin diğerinden daha önemli olduğu” açıktır.

Diğer bir örnek olarak,yeni bir ilacın kanseri iyileştirdiği iddiasını ele alalım. Bu defa hipotezler şu şekilde ileri sürülür.

H0:İlaç kanser üzerinde etkisizdir.

H1:İlaç kanseri iyileştirir.

Sıfır hipotezleri doğru olduğu (yani ilaç etkisiz olduğu) halde reddettik ve hastalara bu ilacı verdik. Yaptığımız I. tip hatanın sonucu:Yan etkilerinin olup olmadığı bir tarafa bırakılırsa,ilacın hastalığa herhangi bir etkisi olmadı.

Sıfır hipotezi yanlış olduğu (diğer bir deyişle ilaç iyileştirici etkiye sahip olduğu) halde reddettik ve hastalara söz konusu ilacı vermedik. II. tip hatamızın sonucu:İyileşmeleri mümkün olan hastalar maalesef öldüler.

Bu örnekte ise “II. tip hata riskinin diğerinden daha önemli olduğu” anlaşılmaktadır.

Hipotez testinin esası,sıfır hipotezini kabul veya reddetmek olduğuna göre,aynı problemde hem I. tip hem de II. tip hatayı birden işlemek mümkün değildir.

Uygulamada başka değerler de kullanılmakla birlikte,I. tip hata yani anlamlılık düzeyi için %1 ve %5 düzeyleri özellikle benimsenmiştir. Bir hipotez testinde meselâ %5 anlamlılık düzeyinin seçilmesi,kabul edilmesi gereken bir hipotezin %5 olasılıkla reddedilebileceğini,diğer bir deyişle doğru bir kararın %95 güvenle verilmiş olmasından emin olunabileceği anlamını taşır. Normal eğri x eksenini kesmediği için,a hatasını sıfıra indirmek ve kararın doğruluğundan %100 emin olmak mümkün değildir.

Küçük hacimli örneklemlerle (n<30) çalışılması zorunlu tıbbi veya psikolojik araştırmalarda a için %10 ve %20’ye çıkıldığı görülür. Böylelikle doğru hipotezin reddedilme olasılığı artırılmakla beraber,arzu edilmeyen bir durum olarak yanlış hipotezin kabul edilebilme özelliği azaltılmaya çalışılmış olur. Buna karşılık,fizik ve biyoloji gibi daha açık ve seçik teorik yapılara ulaşılabilmiş bilim dallarında tipik olarak a=0,01 alınmaktadır.

Hipotezlerin reddi için tanımlanan bölgeye “red bölgesi” bu bölgeyi hipotezlerin kabul bölgesinden ayıran değerlere “kritik değerler” adı verilir. Anlamlılık düzeyine ve ayrıca testin “tek taraflı” veya “çift taraflı” yapılmasına göre kritik değerler değişmektedir. Tek taraflı teste başvurulduğunda dikkate alınacak kritik değerler,%5 anlamlılık düzeyi için 1,64 ve %1 anlamlılık düzeyi için 2,33’tür.Çift taraflı testte ise, %5 anlamlılık düzeyi için 1,96 ve %1 anlamlılık düzeyi için 2,58 kritik değerleri yorumlarda göz önünde tutulur. Bu ifadelerimizi bir tablo üzerinde özetleyelim.

KRÄ°TÄ°K DEÄžERLER

Testin Cinsi

Anlamlılık Düzeyi

%5

%1

Tek Taraflı Test

1,64

2,33

Çift Taraflı Test

1,96

2,58

Hipotez testlerinde daima test edilen H0 hipotezidir. Sıfır hipotezinin kabul edilmesi durumunda,varolan teorik bilgilerle yetinmek gerekir. Bu hipotezin reddedilmesi,varolan teorik bilgilerin yeniden düzenlenmesini,yeni bilginin eskiden varolan bilgilerle bağdaştırılmasını zorunlu kılar. Araştırmalarda bulunan kanıtların,bu tür teorik düzenlemelerin yapılamasını haklı çıkarabilecek önemde olmaları gerekir. Bu ifadenin istatistiksel açıdan anlamı ise a’nın küçük seçilmesidir.

-Hipotez Testlerinde Adımlar-

Bir hipotez testindeki başlıca adımları aşağıdaki sıra ile inceleyebiliriz.

1)Hipotezlerin İfade Edilmesi:“Sıfır hipotezi” ana kütle parametresinin önceden belirlenmiş,bilinen değerini göstermektedir.“Karşıt hipotez” ise,sıfır hipotezinin reddi halinde kabul edilmesi gereken hipotezdir. Bazen bir,bazen de birden fazla karşıt hipotez söz konusu olabilir. Ancak hipotez test edilirken,tek bir karşıt hipotez ileri sürüleceği açıktır. Hemen ekleyelim ki bazı hallerde sıfır hipotezinin reddi durumunda karşıt bir hipotez kabul edilmez. Ne var ki ,daha öncede belirtildiği gibi pratik bir yarar sağlamadığından bu yola nadiren başvurulmaktadır. Karşıt hipotezin sıfır hipotezinden “farklı” veya “büyük” yahut “küçük” oluşuna göre testler çift veya tek “büyük” yahut “küçük” oluşuna göre testler çift veya tek taraflı olmaktadır. Testte aşağıdaki üç takım testten birincisine veya ikincisine başvurulduğunda “tek taraflı test”,üçüncüsü dikkate alındığında “çift taraflı test” söz konusu olur.

Tek Taraflı Test

Çift Taraflı Test

Uygulanacak olan testin tek taraflı mı , yoksa çift taraflı mı olacağını tespit etmek için,verilecek karar göz önünde bulundurulur. Meselâ,problem yeni geliştirilen bir üretim sisteminin uygulanıp uygulanamayacağı ise,tek taraflı testin tercih edilmesi yerinde olur. Nitekim yeni geliştirilen üretim sistemi, eskisine göre daha üstün olmadıkça hiçbir kimse bunu işletmesinde kullanmak istemez. Buna karşılık,problem meselâ bir paketleme makinasının normal çalışıp çalışmadığını kararlaştırmak ise,çift taraflı bir testten yararlanabilir. Çünkü, paketlerin tespit edilen standart ağırlıktan daha hafif veya daha ağır olması aynı sonucu,yani makinanın iyi çalışmadığını gösterir.

2)Anlamlılık Düzeyinin Seçilmesi:Gerek I. tip hatayı gerekse II. tip hatayı minimuma indirecek şekilde a’nın çeşitli istatistiksel tekniklerle belirlenmesi mümkün ise de,test yapanın a ve b hatalarına vereceği önem de a’nın seçiminde rol oynamaktadır. Genellikle %1 ve %5 anlamlılık düzeyleri kullanılmakta ve kararın etkilenmesi için a’nın değeri testin başlangıcında tespit edilmektedir.

3)Olasılık Bölünmesinin Belirlenmesi:Örneklemin incelenmesiyle elde edilecek sonuçlar olasılığa dayanılarak yorumlanacağından uygun bir olasılık bölünmesinin belirlenmesi zorunlu hale gelir. Daha önce de belirttiğimiz gibi,ana kütle normal bölündüğünde veya ana kütle normal bölünse bile örneklem hacmi yeteri kadar büyük (n ³ 30) olduğunda örnekleme bölünmesi normal bölünme mahiyetinde olmaktadır. Dolayısıyla,örneklem hacminin yeteri kadar büyük olması halinde testlerde normal bölünmeye başvurabilir.

4)Red Bölünmesinin Belirlenmesi:Anlamlılık düzeyinin belirlenmesi ile birlikte red bölgesinin büyüklüğü de tespit edilmiş olur. Diğer taraftan,karşıt hipoteze göre de red bölgesinin yeri belirlenir. Karşıt hipotez,ana kütle parametresinin sıfır hipotezinde belirlenmiş olan ana kütle parametresinden daha büyük (H1:q>q0) veya daha küçük (H1:q

Grafik 2:Tek Taraflı Test

Red Bölgesi

+Z a

Grafik 3:Tek Taraflı Test

(H1:q

Red

Bölgesi

-Z a

Grafik 4:Çift Taraflı Test

(H1:q ¹ q0)

Red Bölgesi Red Bölgesi

-Za/2 +Za/2

5)Test Ä°statistiÄŸinin Hesaplanması:Ä°statistiksel karar,ileri sürülen sıfır hipotezi ile örneklemlerden elde edilmiÅŸ ortalama,oran vs … gibi istatistiklerin kıyaslanması sonucu ve örneklem istatistiÄŸi ile sıfır hipotezinde belirlenmiÅŸ olan ana kütle parametresi arasındaki farkı standart hata birimleriyle ifade eden bir ölçüye ihtiyaç vardır. Kısaca üzerinde test kurulan örneklem istatistiÄŸine “test istatistiÄŸi” denir.

BİLİNEN VARYANSLA NORMAL DAĞILIMA SAHİP BİR KİTLENİN ORTALAMSI İÇİN HİPOPTEZ TESTİ

Teorem:a anlam düzeyinde m ortalamalı ve bilinen d2 varyanslı normal dağılıma sahip bir kitleden alınan N birimlik bir örnekleme dayanarak,

H0:m=m0

H1:m¹m0

Hipotezini test edelim.

ise H0 reddedilir.

Sonraki adımda II. tip hata yapma olasılığı b’yı hesaplayacağız.

b=P[H0 kabul edilir/ H0 yanlış]

‘dır. 1

Kabul edelim ki m=m1 ve m=m0 . bu takdirde ,

birim normal dağılıma sahiptir. Öyle ki 1 denklemi aşağıdaki formu alır.

b’nın değerleri z tablosundan bulunur.

Örnek:Belli bir okulun bölgesinde ölçülebilen zeka yaşının takvim yaşına oranı m=110 ortalamalı ve varyanslı bir normal dağılıma sahip olduğu biliniyor. Bir okuldan alınan 25 öğrencilik bir grup için bu oranın olduğu görülmüştür. Bu okuldaki ortalama,bölge ortalamasından farklı mıdır?a=0,10 kullanarak testin gücünü çiziniz.

Çözüm:H0:m=110 ve

H1:m¹110 olur.

Teoremden;

ise H0 reddedilir. olduğundan H0’ı reddederiz.2 denklemini kullanarak b’nın değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

örneğin m1=115 olduğunda Ek Tablo

III Â’den(Z tablosu)

=0,1977 bulunur. Bu özel hal Şekil 1’de açıklanmaktadır. m1’in çeşitli değerleri için b ve testin gücü Tablo 1’de gösterilmiştir. Ayrıca güç şekil 2’de çizilmiştir.

m=110 iken ’in dağılımı m=115 iken ’in dağılımı.

106,7 110 113,3 115

Åžekil I

GÜÇ

117

0,0322

0,9678

115

0,1977

0,8023

113

0,5588

0,4412

111

0,8591

0,1409

109

0,8591

0,1409

107

0,5588

0,4412

105

0,1977

0,8023

103

0,0322

0,9678

Tablo 1

1,0

Åžekil 2

108 109 110 111 112

Çift Taraflı Test(İki Yanlı Test)

Tek Taraflı Test(Tek Yanlı Test)

1-a denkleminde ’in büyük değeri için 1-b denkleminde ’in küçük değeri için H0’ı reddederiz. Kolaylaştırmak için 1-a’ yı düşünelim. >c ise H0’ı reddederiz.

a=P[H0’ı reddet/H0 doğru]

Â’dir.

Öyle ki ve bulunur.

1-a denklemi için kritik bölge ve 1-b denklemi için kritik bölge ’dir. Testin gücünün hesaplanması iki yanlı testte olduğu gibidir.

Teorem:a önem düzeyinde,bilinen varyanslı ve m ortalamalı normal dağılımlı bir kitleden alınan N birimlik bir örnekleme dayanarak

H0:m=m0

H1:m>m0

Hipotezi test edildiÄŸinde ise H0 reddedilir.

*Tek ya da iki yanlı testin kullanılmasının seçimi bir istatistik problemi değildir, çalışılan probleme bağlıdır.*

UYARI(Tüm hipotez testlerinde uygulanabilen);H0 reddedildiğinde,yanılmamız olasılığı a’yı biliyoruz;bununla beraber H0’ı kabul ettiğimizde,yanılmış olmamızın olasılığı parametrenin değerine bağlıdır. Bu nedenle,istatistikçi çoğu kez,“sıfır hipotezin reddedilmesi” ve “sıfır hipotezi reddetmenin olanaksız olması” şeklinde konuşur.“Sıfır hipotezin kabul edilmesi” az kullanılır.

Kitle Varyansı Bilindiğinde Kitle Ortalaması m’nün Belli Bir Değere Eşit Olması Hipotezinin İncelenmesinde İzlenecek Yol Aşağıdaki Gibi

Özetlenebilir:

1)H0 ve H1 belirlenir.

2)Önem (anlam) düzeyi a seçilir.

3)H0’ın testi için kullanılacak istatistik üzerinde karar verilir. Bu durumda

Â’dir.

4)H0’ın doğru olması varsayımı altında istatistiğinin örnekleme dağılımı bulunur. Bu durumda Z ~ N(0,1)’dir.

5)İlgili olasılık tablosundan kritik bölge sınırı belirlenir. İstatistiğin oraya düşecek değerleri için H0 reddedilir. Hipotez doğru ise istatistiğin kritik değerleri için H0 reddedilir. Hipotez doğru ise istatistiğin kritik bölge içine düşmesi olasılığı a’dır.

6)Örneklemden istatistiğin değeri hesaplanır ve bu değerin kritik bölgeye düşüp düşmediği kontrol edilir.

7)H0’ı red ya da kabul için karar verilir. Test istatistiğinin hesaplanan değeri bölge içinde ise H0 reddedilir. Aksi durumda reddedilmez.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Ä°statistik

Red Bölgesi

H0:m=m0

H1:m

Z

H0:m=m0

H1:m>m0

Z>Z1-a

H0:m=m0

H1:m¹m0

Z< =-Z1-a/2

Z>Z1-a/2

H0:m m0

H1:m

Z

H0:m m0

H1:m>m0

Z>Z1-a

Hipotezler Ve Karar Kuralları

Örnek:Bir şirket her yıl binlerce elektrik ampulü kullanmaktadır. Kullanılan markadaki ampullerin ortalama dayanma süresi 1000 saat ve standart sapması 100 saattir. Bu şirket için eski markada ampuller için ödedikleri fiyattan daha ucuz fiyata yeni marka ampul teklifi yapılmıştır.a=0,05 için yeni ampuller denenerek daha küçük ortalama dayanma süresine sahip değillerse yeni tipin kullanılmasına karar verilecektir.100 yeni ampul deneniyor ve ortalama dayanma süresi 985 saat bulunuyor. Yeni ampuller için standart sapmayı aynı kabul ettiğimizde 100 birimlik örneklemle kararımız ne olur?

Çözüm:1)Yeni marka ampullerin kitlesi için

H0:m=m0=1000

H1:m<1000

Hipotezi kurulur.H0’ı reddedersek yeni tip ampullerin ortalama dayanma süresinin eskisininkinden daha az olduğu sonucuna varırız.

2)a=0,05 değeri saptanmıştır.

3) istatistiği kullanılır. Ortalama m=1000 ise Z birim normal dağılıma sahiptir.( )

4)Kritik deÄŸer

ya da olarak yazılır.

5)Hesaplamalar:

Gözlenen değeri 985’tir.O halde

‘dır.

Bulunan istatistik kritik bölge içinde değildir. Yeni ampullerin ortalama dayanma süresinin 1000 olduğu hipotezi reddedilemez. Şirket yeni ampulleri kullanacaktır.

Örnek:Bir fabrikada üretilen pompalar saatte 12,3 ton suyu boşaltmaktadır. ’dir. Bu pompalara yeni ekler yapılmak isteniyor fakat pahalıdır. Saatte ortalama olarak 13 tondan fazla su boşaltılabilirse yeni tesisat yapılacaktır. Değişiklik yapılıp yapılmayacağına karar vermek amacı ile 14 yani makine deneniyor. Ortalama 13,3 bulunuyor. Bu örneklemin verdiği sonuca dayanarak yeni tesisat yapılması uygun mudur?

Çözüm:1)H0:Yeni makineden elde edilen ortalama m 13,0

H1:m>13,0

2)a=0,25 seçelim.(Fabrikatör bu büyüklüğün riskini kabulleniyor.)

3)

4)Z’ nin normal dağıldığını kabul et.

5)Z>Z0,75 ise H0’ı reddet.

6) ~0,80>0,675=Z1-a

Sonuç:H0’ı reddedilir. Yeni makineler kullanılacaktır.

Örnek:Bir firma tarafından yapılan halatlar için ortalama kırılma gücü 300kg ve standart sapma 24 kg olarak saptanmıştır. Uygulanması düşünülen yeni bir sürecin ortalama kırılma gücünü arttırıp arttırmadığı incelenecektir.

a)64 birimlik bir örnekleme eski üretim sürecinin 0,01 anlam düzeyinde reddi olanaklı mıdır?

b)a şıkkındaki karar verme kuralı uygulandığında,standart sapmanın hala 24kg olması koşulu altında,yeni sürecin ortalama kırılma gücünü 310kg’a çıkarması halinde eski sürece devam etmeye karar verme (H0’ı kabul etme) olasılığı nedir?

Çözüm:a)m ortalama kırılma gücü ise,aşağıdaki iki hipotez arasında karar vermek istiyoruz.

H0:m=300kg yeni süreç etkisi ile aynıdır.

H1:m>300kg yeni süreç etkisinden daha iyidir.

a=0,01 alarak tek yanlı test için aşağıdaki karar verme kurallarına sahibiz.

1)Örneklemin kırılma gücüne karşılık gelen değer 2,33’ten büyük ise H0’ı reddederiz.

2)Aksi halde H0’ı kabul ederiz.

~N(0,1) ve

olduÄŸundan,Z>2,33 , ise H0 hipotezi reddedilecektir. Aksi halde kabul edilecektir.

b)H0:m=300kg

H1:m=310kg hipotezlerini düşünelim.

H0’ı kabul bölgesi H0I red Bölgesi

300 307 310

Åžekil 3

Yukarıdaki hipotezlere karşılık gelen ortalama kırılma güçlerinin dağılımları bu şekilde gösterilmiştir.

Yeni ortalama kırılma gücü gerçekten 310kg olduğunda eski süreci kabul etme olasılığı yukarıdaki şekilde b İle gösterilen taralı alandır.

a şıkkından görüldüğü gibi kritik bölge sınır (m=310) ise

Â’dir.

Böylece b=(sağdaki normal eğri altında,Z=-1’in solundaki alandır.)=0,1587. Bu olasılık gerçekten H1:m=300kg hipotezi doğru olduğunda H0:m=300kg hipotezinin kabul edilmesi olasılığıdır. Yani II. tip hata yapma olasılığıdır.

HÄ°POTEZ TESTÄ°NDE P-DEÄžERÄ° YAKLAÅžIMI

Bir hipotez testinin P-değeri,sıfır hipotezinin reddedildiği en küçük önem düzeyine eşittir.

P-değeri bir hipotez testinin gözlenen önem düzeyi olarak açıklanabilir.

Kabul edelim ki P-değeri bir kitle ortalaması için hipotez testinde normal dağılım eğrisinin sağ uzantısı da 0,03’tür.(Şekil 4)

Testin istatistiÄŸinin

deÄŸeri

1,645 2,33 a=0,01 için kritik değer

a=0,05 için kritik değer

Şekil 4’den görüldüğü gibi a=0,05 önem düzeyinde sıfır hipotezi reddedilecek,fakat 0,01 önem düzeyinde reddedilmeyecektir.

P-değeri kullanılarak hipotez testi için karar kuralı;ya da özel olarak belirlenen a önem düzeyine eşit ya da daha küçük ise sıfır hipotezi reddedilir. Aksi halde sıfır hipotezi reddedilemez.

P-Değeri Yaklaşımı İle Hipotez Testi Yapılmasında İzlenen Adımlar:

1)Sıfır hipotezini ve karşıt hipotezi belirle.

2)a önem düzeyine karar ver.

3)Test istatistiÄŸinin deÄŸerini hesapla.

4)P-deÄŸerini bul.

5)P-değeri a’ya eşit ya da küçük ise H0’ı reddet. Aksi halde H0’ reddetme.

6)Sonucu yazı ile açıkla.

Örnek:Bir şirket her yıl binlerce elektrik ampulü kullanmaktadır. Kullanılan markadaki ampullerin ortalama dayanma süresi 1000 saat ve standart sapması 100 saattir. Bu şirket için eski markada ampuller için ödedikleri fiyattan daha ucuz fiyata yeni marka ampul teklifi yapılmıştır.a=0,05 için yeni ampuller denenerek daha küçük ortalama dayanma süresine sahip değillerse yeni tipin kullanılmasına karar verilecektir.100 yeni ampul deneniyor ve ortalama dayanma süresi 975 saat bulunuyor. Buna göre alarak P-değerini hesaplayınız. Bulunan P değerini a=0,05 önem düzeyi ile karşılaştırarak kararınızı açıklayınız.

Çözüm:Verilen problemde test istatistiğinin hesaplanan değeri: ‘dir. O halde sıfır hipotezi doğru olduğunda P-değeri:P(Z -2,5)=0,0072’dir.P-değeri < a=0,05 olduğundan H0 hipotezi reddedilir. Yani yeni ampullerin ortalama dayanma süresi 1000 saatten azdır.

BİLİNMEYEN VARYANSLI NORMAL DAĞILIMLI BİR KİTLENİN ORTALAMASI İÇİN HİPOTEZ TESTİ

s2 bilinmiyor ise Z yi test istatistiği olarak daha fazla kullanamayız. Onun yerine-t yoğunluğuna sahip

istatistiği kullanılır. H0: m=m0 hipotezini H1: m¹m0 iki yanlı karşıt hipotezine karşı test edeceğiz. A ve B nin değerleri aşağıdaki şekilde hesapladıktan sonra

t >A ya da t < B ise H0: reddedeceÄŸiz. Burada

a=P[H0: reddedilir

H0 doÄŸru]

=P[t > A ya da t < B

m=m0]

dır. t, student-t yoğunluğuna sahip olduğundan, biliyoruz ki

dır. Böylece denklemi ile hesaplanan t değeri için kritik bölge

dır. O halde şimdi şu teoremi verebiliriz ;

Teorem: Bilinmeyen s2 varyanslı (Sx2 ile tahmin edilen) ve m ortalamalı bir normal kitleden alınan birimlik bir örnekleme dayanarak, a anlam düzeyinde

H0: m=m0

H1: m¹m0 hipotezleri test edildiğinde

ise H0 reddedilir. Aşağıdaki hipotezleri düşünelim;

H0: m=m0

H1: m>m0

Tek yanlı test yapıldığında t>t1-a ise hipotez reddedilir, yani

a=P[t>t1-a

m=m0] dır.

Örnek: Belli tipteki farelerin doğumundan üç aylık oluncaya kadar özel gıda rejimi ile beslenmiştir. Aşağıdaki ağırlıklar bulunmuştur. 55, 62, 54, 58, 65, 64, 60, 62, 59, 67, 62, 61, a=0,05 önem düzeyinde özel gıda rejimin m=65 ortalama ağırlığı değiştirdiğini gösteren inandırıcı bir neden var mıdır?

Çözüm: Hipotez testi için aşağıdaki yöntemi uygulayacağız.

H0: m=65(=m0)

H1: m¹65

a=0,05 ; N=12, N-1= serbestlik derecesi=11

ve ; dir. O halde

bulunur. ya da denklemini kullanarak

ise H0‘ ı reddederiz.

Örnek:(Sanayi) Belli bir işi bitirmek için gereken ortalama zaman 12,5 dakika olarak biliniyor. 10 yeni işçini belirtilen işi yapmak üzere denendiklerini kabul edelim. Denem sonunda aynı işi yapma zamanları şöyledir;

9,3; 12,1; 15,7; 10,3; 12,2; 14,8; 15,1; 13,2; 15,9; 14,5

a=0,05 önem düzeyinde bu örneklemin alındığı kitle için zamanın ortalamadan farklı olmadığı hipotezini test ediniz.

Çözüm:

H0:m=12,5(=m0)

H1:m¹12,5

N=10, N-1=9

, , SX=2,28 ;

ya da denklemini kullanarak ise H0 ‘ı reddederiz.

T0,975=2,26 bulunur. O halde t0,975>t olduğundan H0 ’ı reddedemeyiz. İşçilerin ortalamadan farklı olduklarını kabul etmemizi gerektiren neden yoktur.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Ä°statistik

Red Bölgesi

H0:m=m0

H1:m¹m0

H0:m=m0

H1:m

t < ta= -t1-a

H0:m=m0

H1:m>m0

t > t1-a

H0:m³m0

H1:m

t < -t1-a

H0:m

m0

H1:m>m0

t > t1-a

GÃœVEN ARALIKLARININ VE HÄ°POTEZ TESTÄ°NÄ°N KARÅžILAÅžTIRILMASI

Bir hipotez testinin kabul bölgesi ile güven aralığı arasında bir bağıntı olduğu şimdi daha iyi anlaşılacaktır. Örneğin;

H0: m=m0

H1: m¹m0

Testi için kabul bölgesi ve m için güven aralığı;

dir.

Bu eşitsizliğin yeniden düzenlenmesiyle

buluruz. olduğundan kabul bölgesi ve güven aralığı eşdeğerdir. Bu gösterir ki s2 bilindiğinde a hipoteze karşı kabul bölgesi 1-a düzeyli güven aralığı ile aynıdır. Diğer bir deyimle, a önem düzeyinde H0‘ ın kabul edilmesi 1-a güven aralığının m0 kapsamına eşdeğerdir. Aynı nedene dayanarak, aönem düzeyinde H0’ ın reddedilmesi, 1-a düzeyli güven aralığının m0’ ı kapsamamasına eşdeğerdir.

NORMAL DAĞILIMLI BİR KİTLENİN VARYANS VE STANDART SAPMASI İÇİN HİPOTEZ TESTİ

N bağımsız gözleme dayanarak bir normal kitlenin varyansı s2 için test düşündüğümüzde c2 tanımına göre biliyoruz ki;

N-1 serbestlik dereceli c2 dağılıma sahiptir.

H0: s2=s02

H1: s2¹s02

Nın testi için test istatistiği

dır. böylece

ise H0 reddedilir. Karşıt hipotez H1: s2>s02 ise olduğunda H0 reddedilir. Karşıt hipotez H1: s2

s02 ise

olduÄŸunda H0 reddedilir.

Örnek: Bir şirket eski tip makine kullanarak 0,00042 varyansla 1cm çaplı cıvata üretmektedir. Şirket 25 tane yeni makineyi satın almak amacı ile denediğinde aynı tip cıvatalar için 0,00028 varyansı buluyor. a=0,005 alarak yeni tip makinelerle aynı tip cıvataların daha küçük varyansla üretilebildiğini söyleyebilirsek yeni makine satın alınacaktır. Bu örneklemle ne karar verebiliriz?

Çözüm:1.Yeni makinelerle üretilen cıvataların kitlesi için aşağıdaki hipotezler kurulur:

H0: s2=s20=0,00042

Ha : s2

2. a=0,05 seçiyoruz.

3. Kullanılan istatistik: dir. Varyans 0,00042 ise

istatistiği X2 dağılıma sahiptir. şöyle ki

a) Cıvataların örneklemi rasgele seçilecek.

b) Yeni makinelerle üretilen cıvataların çaplarının kitlesi normal dağılıma sahip olacaktır. N=25; serbestlik derecesi N-1=24 tür.

4. Kritik bölge dir.

olarak bulunur.

5. olduğundan H0 hipotezi reddedilemez. O halde eski tip makineler kullanılmaya devam edilecektir.

Örnek:Araba akümülatörlerinin üretildiği bir fabrikanın müdürü , akümülatörlerin ömrünün standart sapmasının 0,9 yıl olduğunu iddia ediyor. Üretilen akümülatörler arasından rasgele seçilen 10 akümülatörler arasından rasgele seçilen 10 akümülatör için standart sapma 1,2 yıl bulunmuşsa a=0,05 anlam düzeyinde s>0,9 yıl olduğu söylenebilir mi?

Çözüm: 1. H0: s2=0,81(s20)

Ha: s2>0,81

2. N=10 serbestlik derecesi N-1=9

3. a=0,05

4.test istatistiÄŸi:

5. denklemini kullanarak

ise H0 reddedilir.

olduğundan H0 ı kabul edebiliriz. Standart sapmanın 0,9 olarak kabul edilmemesi için neden yoktur.

NORMAL DAGILIMLI İKİ KİTLENİN ORTALAMALARI FARKI İÇİN

HÄ°POTEZ TESTÄ°

Burada yapacağımız inceleme daha önceki bölümdekine benzer şekilde olacaktır. N ve M birimlik bağımsız iki örnekleme dayanarak ; s21 ve s22 varyanslı iki kitlenin ortalamaları m1 ve m2 yi karşılaştıralım. Böyle testleri bir ziraatçı iki tip yemin karşılaştırmasında, bir mühendis iki ölçü tekniğinin karşılaştırılmasında kullanır.

s12 ve s22 bilinmektedir.

Bir önceki bölümden bilindiği gibi;

birim normal dağılıma sahiptir.

H0: m=m0

H1: m¹m0

hipotezleri test edildiÄŸinde,

ise reddedilir.

H0: m1=m2

Ha: m1>m2

Hipotezleri test edildiÄŸinde,

Z>Z1-a

ise H0 reddedilir.

H0: m1=m2

Ha: m1

hipotezleri test edildiÄŸinde

Z

ise H0 reddedilir.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Ä°statistik

Red Bölgesi

H0:m1=m2

Ha:m1¹m2

H0:m1

m2

Ha:m1>m2

Z>Z1-a

H0:m1³m2

Ha:m1

Z<-Z1-a

Örnek:Bir A firması tarafından üretilen elektrik ampulleri arasından seçilen 80 ampul için ortalama ömür 1258 saat bulunmuştur. Kitleye ait standart sapma 94 saattir. Diğer bir B firması tarafından üretilen ampuller arasından rasgele seçilen 60 ampul için ortalama ömür 1029 saat ve kitle standart sapması 68 saattir. A firmasının ampulleri pahalıdır. Bu nedenle A firması tarafından üretilen ampullerin ömrü B ‘nin kilerin ortalama ömründen 200 saatten çok değilse B firmasının ampullerini satın almak için karar verilecektir. a=0,01 alarak hangi firmanın ampullerini satın alacağımızı test ediniz.

Çözüm: mA ve mB sırasıyla A ve B firmaları tarafından üretilen ampullerin ortalama ömürleri olsun.

H0:mA-mB

200 saat

H1:mA-mB>200 saat

N=80, M=60, a=0,01

Böylece

dir.

Kritik bölge: Z>2,327=Z1-a=Z0,99

Z=2,12

II.s12 ve s22 bilinmiyor fakat eşit kabul ediliyor (Küçük örneklem testleri)

S12 ve S22 , s12 s22 için yansız tahmin ediciler ise,

olmak üzere

istatistiğini N+M-2 serbestlik dereceli student-t-dağılımına sahiptir.

ise a önem düzeyinde H0:m1=m2 hipotezini Ha:m1¹m2 hipotezine karşı reddederiz.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Test Ä°statistiÄŸi

Red Bölgesi

H0:m1=m2

Ha:m1

H0:m1³m2

Ha:m1

H0:m1=m2

Ha:m1>m2

H0:m1

m2

Ha:m1>m2

H0:m1=m2

Ha:m1¹m2

tN+M-2

tN+M-2

tN+M-2>tN+M-2;1-a

tN+M-2>tN+M-2;1-a

tN+M-2

tN+M-2>tN+M-2;1-a/2

Örnek:Okumayı geliştirme sınıfına kayıtlı 9 öğrencilik iki gruba okuduğunu anlama testi uygulanıyor. Elde edilen puanlar kaydediliyor. Gruplardan biri test konusunu sesli olarak, diğeri sessiz olarak okuyorlar. Elde edilen veriler a=0,05 önem düzeyinde sesli ve sessiz okuma koşulları altında ortalama anlama puanlarının farklı olduğunu gösteren yeterli deliller midir?

Çözüm:Kitle varyanslarını eşit olarak kabul edelim. Verilere göre,

Sesli

Sessiz

35

41

31

35

29

31

25

28

34

35

40

44

27

32

32

37

31

34

dir. İki okuma koşulu altında ortalama puanlar arasındaki farkı her iki yönde de düşüneceğimizden karşıt hipotez;

Ha :m1¹m2

olur. O halde iki yanlı istatistik testi kullanılacak ve test için reddetme bölgeleri t- dağılımının her iki uzantısında da bulunacaktır. O halde hipotezlerimiz;

1. H0: m1=m2

Ha: m1¹m2

dir.

2. a=0,05 seçelim.

3. S12 = , S22 =

bulunur.

4. Kritik bölge; t<-2,120 ve t>2,120 dir.

5. test istatistiÄŸinin hesaplama deÄŸeri

olarak bulunur.

Bulunan değer reddetme bölgesine düşmediğinden, sesli ve sessiz okuma koşulları için okuduğunu anlama puanlar ortalamasının farklı olduğunu gösteren yeterli bir delil olmadığı sonucuna varırız.

Örnek: Büyük bir Şirket ortalama dayanma sürelerini esas alarak iki tip elektrik ampulü arasında seçim yapmak istiyor. Birinci tip ampulün fiyatı ikinci tipin fiyatından ucuzdur. a=0,05 önem düzeyinde ikinci tipin ortalama dayanma süresi birincininkinden önemli derecede çok değilse şirket birinci tipi seçecektir.

Her iki tipten de denemek amacıyla 26 şar ampullük örneklem seçiliyor ve =985 saat , saat s1=60 saat ve s2=80 saat bulunuyor. Bu sonuçlara dayanarak ne karar verilebilir?

Çözüm:1. H0:m1=m2

Ha:m1

Hipotezini inceleyeceÄŸiz.

2. a=0,05 verilmiÅŸtir.

3. m1-m2=0 varsayımı altında

test istatistiğidir. m1=m2 ise tN+M-2, 26+26-2=50 serbestlik dereceli t- dağılımına sahiptir.

örneklemler rasgele seçilmiştir.

Elektrik ampullerinin dayanma sürelerinin kitleleri normal dağılımlıdır.

Her iki kitle aynı varyansa sahiptir.

4. kritik bölge sınırı: t50:0,95=-1,6759

5.

bulunur. O halde, test istatistiÄŸinin hesaplanan deÄŸeri;

dır.

H0 hipotezi reddedilemez. Yani ikinci tip ampul satın alınmayacaktır.

III.s12 ve s22 bilinmiyor ve eÅŸit olarak kabul edilemiyorlar

Bir önceki bölümde görüldüğü gibi

istatistiği, her iki kitlenin normal dağılımına sahip olması halinde en yakın tam sayıya eşit alınan

serbestlik derecesi ile yaklaşık olarak t- dağılımına sahiptir.

tV>t1-a/2

tV<- t1-a/2

ise H0ı reddederiz. Burada t1-a/2 ek tablodan v serbestlik derecesine bakarak bulunur.

Örnek: Son 15 yıllık kayıtlara göre şubat ayında yurdumuzun bir A bölgesinde ortalama yağış 18 cm ve standart sapma 4 cm dir. İkinci bir B bölgemizde son 10 yıllık kayıtlara göre aynı ay için ortalama yağış 10 cm ve standart sapma 2 cm dir. a=0,01 alarak şubat ayı içinde ortalama yağışların eşit olduğu hipotezini. A bölgesinde yağışın daha çok olduğu hipotezine karşı test ediniz. Gözlemlerin farklı varyansları normal kitlelerden alındığını kabul ediyoruz.

Çözüm: mA ve mB sırası ile A ve B bölgeleri için ortalama yağışı göstersin.

H0: mA=mB

Ha: mA>mB

a=0,01

kritik bölge : serbestlik derecesi :

Bu nedenle kritik bölge t>t1-a=t0,99=2,508 dir.

t>t1-a olduÄŸundan H0 reddedilir.

Sonuç:A bölgesi B bölgesinden daha çok yağış almaktadır.

Bu kesimde her biri bir kitleden alınan bağımsız örneklemlere dayanarak iki kitle ortalaması hakkında istatistiksel sonuç çıkardık. Bu yaklaşımı aşağıdaki gibi özetleyeceğiz.

İki işlemin ya da yöntemin deneysel karşılaştırmasında gerekli adımlar Şekil 5’de verilmiştir. Burada tüm bireylerin temel kitlesinden rasgele örneklem seçilmiştir. Bu örneklemin bireyleri işlem 1 veya işlem 2 ye rasgele olarak dağıtılmıştır. Böylece bir X değişkeninin değerlerinin oluşturduğu

İki tane hipotez testi yapılacak kitle vardır. I. si kitlede işlem 1 i kullanan tüm bireylerin kitlesi, II. si temel kitlede işlem 2 yi kabullenen tüm bireylerin kitlesidir. Bu iki hipotetik kitlenin parametreleri hakkında sonuç çıkarılacaktır. Özel bir işlemle ilgili bireyler bu bireylerin hipotetik kitlesinden bir örneklem olarak düşünülmektedir.

Åžekil.5

İlgili Ölçüm Çiftleri İçin Testler

Åžimdiye kadar ortalamalarla ilgili test yaparken bağımsız örneklemler kullanıldı.Åžimdi kullanacağımız örneklemler de daha önceki konuda incelediÄŸimiz gibidir. Herhangi bir iÅŸlemin uygulamasında önceki ve sonraki ölçüm çiftleri alınır. Böylece (x1i , x2i) i = 1, 2, ……….., N biçiminde örneklemler oluÅŸturulur. Bu durumda aÅŸağıdaki gösterimlere sahip oluruz.

mD = m1-m2

N= Örneklem farklarının sayısı.

D= x1i , x2i , i= 1,2,…., N = örneklem çiftleri arasındaki farklar

D= Farkların örneklem ortalaması=

SD=Di ’ lerin standart sapması =

= D’ nin standart hatası=

Di’lerin normal dağıldığını kabul ederiz. Bu durumda test istatistiği (V=N-1 serbestlik dereceli):

dir.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Test Ä°statistiÄŸi

Red Bölgesi

H0:m1=m2

Ha:m1

tN-1

H0:m1³m2

Ha:m1

tN-1

H0:m1=m2

Ha:m1>m2

tN-1>tN-1;a

H0:m1

m2

Ha:m1>m2

tN-1>tN-1;a

H0:m1=m2

Ha:m1¹m2

tN-1

tN-1>tN-1;a

Örnek:Daktilo ile yazma kursuna gitmeden önce ve sonra 10 sekreterin dakikada yazabildikleri sözcük sayısı aşağıda verilmiştir. Sayılar normal dağılımı sahip kabul edilir. Kursun Etkili olduğuna a=0.05 önem düzeyinde söyleyebilir miyiz?

Sekreter

10

Önce

40

47

33

54

61

39

42

47

58

50

Sonra

52

45

51

60

58

69

65

63

59

72

D=önce-sonra

-12

-18

-6

-30

-23

-16

-1

122

Çözüm:

H0:m1=m2 ya da m1=m2=0

Ha:m1=m2<0 ya da mD<0

D= –12,3, SD2=130,45, ,

t<–t0,95 ise H0’ ı reddederiz.

–tN-1:0,95=–t9:0,95=–1,833

H0’ ı reddederiz ve m1

Normal Dağılımlı İki Kütlenin Varyanslarının Eşitliği İçin Hipotez Testi

Bir çok araştırmada incelenen iki populasyonun varyanslarının birbirine eşit olup olmadığı kontrol edilmek istenir. İki farklı ölçme yönteminin hassasiyetlerinin karşılaştırılması, iki farklı yöntemle üretilen malların üniformitelerin karşılaştırılmaları hep iki varyansın birbirine eşit olup olmadığına ilişkin hipotezlerin kontrolü ile yapılır.

X11, X12,…….., X1N ve X21, X22,…….., X2M ve ve varyanslı normal bir dağılıma sahip kitleden alınmış N ve M birimlik rasgele örneklemler olsun. Daha önceki bölümden bilindiÄŸi gibi S12 ve S22; ve nin yansız tahmin edicileri ise

oranı N-1 ve M-1 serbestlik dereceli F dağılıma sahiptir.

H0 :d12=d22

Ha :d12¹d22 hipotezini test etmek amacıyla şu düşünceyi ve denklemini kullanırız.

ise H0hipotezini reddederiz.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Test Ä°statistiÄŸi

Red Bölgesi

H0:d12=d22

Ha: d12

FN-1,M-1

H0:d12³d22

Ha: d12

FN-1,M-1

H0: d12=d22

Ha: d12>d22

FN-1,M-1>FN-1,M-1;a

H0: d12

d22

Ha:d12>d22

FN-1,M-1>FN-1,M-1;a

H0: d12=d22

Ha: d12¹d22

FN-1,M-1

FN-1,M-1>FN-1,M-1;a

Örnek:10 ve 8 ölçümlük iki örneklemdeki verilere dayanarak bulunan varyansları S12=7,14 ve S22=3,21 dir. Örneklem varyansları, a=0,01 önem düzeyinde kitle varyanslarının eşit olmadığını gösteren yeterli delil sayılabilir mi?

Çözüm:

H0:d12=d22

hipotezini,

Ha:d12¹d22

hipotezine karşıt test edeceğiz.

Test istatistiÄŸinin hesaplanan deÄŸeri;

Tablodan bulunan deÄŸerler;

ve ise H0 hipotezini reddedilir.

F-kritik bölge içine düşmediğinden

Ho:d12=d22 hipotezini reddeder.

Örnek: İki çeşit hayvan ırkının karşılaştırılması çalışmalarında A ırkından 16 fare B ırkından 16 fare için açılmış kafesten ayrılmadan önce geçen zaman ölçülmüştür. İki örneklem için de kaçıştan önceki ortalama bekleme zamanı aynı, fakat S1= saniye

S2= saniyedir.

Veriler; A ırkından olan fareler için kaçış öncesi bekleme zamanındaki değişebilirliğin, B ırkından olanlardan daha büyük olduğunu gösteren yeterli delil midir? (a=0.05 alınacak)

Çözüm:

H0:d12=d22

Ha:d12>d22

Test istatistiÄŸinin hesaplanan deÄŸeri;

a=0,05 seçelim. Tek yanıl test uygulanacaktır.

bulunur.

F=2,04

Binom Dağılımındaki Parametre İçin Hipotez Testi

P parametresi için hipotez testini örneklem hacmi ,n, yeter derecede büyük ve normal yaklaşım için kullanılabiliyor ise, düşüneceğiz. Test edeceğimiz hipotez;

H0 :p=p0

Ha :p¹p0

dır. X n denemedeki başarıların sayısı olmak üzere biliyoruz ki;

birim normal dağılıma sahiptir. O halde

ise H0’ı reddederiz.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Test Ä°statistiÄŸi

Red bölgesi

H0 :p-p0

Ha: p¹p0

H0 :p=p0

Ha :p

H0 :p=p0

Ha : p>p0

H0 :p³p0

Ha :p

H0 :p

p0

Ha : p>p0

Örnek:( Tıp) Bir ilacın hastalar üzerinde denenmesinden sonra %60 etkili olduğu görülüyor. Yeni tip bir benzer ilaç ise 200 hastadan 150 sn de etkili olmuştur. a=0,01 alarak yeni ilacın eskisinden farklı olduğu söylenebilir mi?

Çözüm:

H0 :p=0,6 Ha:p¹0,6

n=200 ,X=150 ,P0=0,6 ;

elde edilir.

a=0,01 kullanılarak, bulunur. olduğundan H0 reddedilir. Yeni ilaç eskisinden farklı etkiye sahiptir.

Örnek: Bir basketbol oyuncusu hata atışlarının %60’ ında sayı elde ettiğini söylemektedir. Bu oyuncu bir mevsim boyunca yaptığı 100 atıştan 70’ inde sayı elde etmiş ise oyuncunun atışlarında gelişme olduğu söylenebilir mi? (a=0,05 alınız)

Çözüm:

H0:p=0,6 Ha:p>0,6

a=0,05

x=70, n=100, p0=0,6, q0=0,4

Z1-a=Z0,95=1,645 bulunur.

Sonuç: Z>Z1-a olduğundan H0 hipotezi reddedilir. Oyuncunun sayı elde etme yüzdesinde artış görülmektedir.

İki Binom Parametresinin Farklı İçin Hipotez Testi

İki binom dağılımından alınmış n ve m birimlik örneklemleri göz önüne alalım. X1 ve X2 sırası ile p1 ve p2 olasılıklarıyla elde edilen başarıların sayısı olsun. n ve m normal yaklaşımı kullanacak şekilde yeter derecede büyük ise aşağıdaki hipotezler için test düşünebiliriz.

H0: p1=p2=p

H0 hipotezi altında ve istatistiklerinin her biri p parametresinin yansız tahminlerini verir. Bildiğimiz gibi standart hata formülü

dir. ¶ birim normal dağılıma sahiptir. ve , p için yansız tahmin edicisi olarak birleştirilmiş örneklem oranı alınır.

Bu halde ¶ denklemiyle verilen test istatistiği,

dir. Öte yandan

yaklaşık olarak birim normal dağılıma sahip olduğundan test istatistiği olarak · ya da ¸ formülü kullanılır. H0 hipotezi karşıt hipotezleri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz.

Hipotez

Karşıt Hipotez

Test Ä°statistiÄŸi

Kritik bölge

H0 :p1=p2

Ha: p1

H0 :p1³p2

Ha : p1

H0 : p1=p2

Ha : p1>p2

H0 : p1

p2

Ha : p1>p2

H0 : p1=p2

Ha : p1¹p2

Örnek: Bir aşının etkisini test etmek amacı ile 150 hayvana aşı yapıyor 150 sine yapılmıyor. Aşıdan önce 300 hayvanın tümüne bir hastalık bulaşmıştır. Hastalığın sonucunda aşılananlardan 10’ u ölmüştür. Kontrol grubu olarak düşünülen diğer bir gruptaki ölüm sayısı 30’ dur. a=0.05 olarak, aşının ölüm oranını düşürdüğü sonucuna varabilir miyiz?

Çözüm:Burada H0 : p1=p2 hipotezini Ha : p1>p2 hipotezine karşıt test etmek istiyoruz. p1=kontrol hayvanları arasındaki ölümlerin oranıdır.

n=150, m=150, x1=30, x2=10

birleştirilmiş örneklem oranı p nin değeri için en iyi tahmin

dir. O halde test istatistiÄŸinin deÄŸeri,

olarak bulunur.

Kritik bölge Z>Z1-a=Z0,95=1,645 olduğundan H0 hipotezini reddederiz. Aşının ölüm oranını düşürdüğü sonucuna varırız.

H0 hipotezi : p1-p2=d0¹0

Karşıt Hipotezler : p1-p2 d0 ya da p1-p0 ¹d0

H0 hipotezi p1-p0=d0¹0 olarak düşünülürse test istatistiği (11.10.1) denklemiyle verilir. Z, bilindiği gibi n ve m nin büyük değerleri için H0 doğru olduğunda birim normal dağılıma sahiptir.

, olmak üzere Z nin değeri

formülü ile hesaplanır.

Örnek: Bir sigara müdür, fabrikada üretilen A ve B tipi sigaralardan A tipinin B ye göre % 10 çok satıldığını iddia etmektedir. Bu nedenle yapılan incelemede 200 kişinin 56 sının A tipini, 150 kişiden 29 unun B tipini seçtikleri görülmüştür. a=0,06 alarak A ve B tipi arasındaki satış farkının % 10 olması hipotezine karşı % 10 dan az olduğu hipotezini test ediniz.

Çözüm: 1- H0: p1-p2 =0,10=d0

2- Ha: p1-p2< 0,10

a=0,06

kritik bölge ; Z<-1,55

5- , , p1¹p2

ve test istatistiÄŸinin deÄŸeri

dir.

6- sonuç :Z=-0,222>Za=-1,55 olduğundan H0 hipotezi reddedilemez.

ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜ

İki oran arasındaki fark için hipotez testi yaparken büyük n ve m değerleri kullanmamız gerekir. n ve m nin büyüklüğünü bulmak için aşağıdaki yol izlenir.

p1, p2, q1,q2 değerlerinden hangisinin en küçük oran olduğunu ve oranın değerini tahmin et. Sonra n ve m nin her ikisi içinde

n.p1 , m.p1 , n.p2 , m.p2

değeri 5 den büyük olmalıdır. Örneğin p2 nin en küçük oran olduğu tahmin ediliyor ise ve bu değer p2=0,05 ise n ve m nin her ikisi içinde

n.p2>5 ve m.p2>5

olmalıdır. Yani min(n,m)> alınmalıdır.

ORTALAMALARIN TEST EDİLMESİ İÇİN ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SEÇİMİ

1-b , ile tanımlanan testin gücü, belirli örneklem büyüklüğü kullanılarak kontrol edilirken istatistiksel hipotez testi için önem düzeyi araştırmacı tarafından normal olarak kontrol edilir. Bu kısımda, bir ya da iki kitle ortalaması içeren testler için örneklem büyüklüğünün kitle varyansı ya da varyansları biliniyor ise istenen gücü elde etmek için gerekli olan örneklem büyüklüğünü belirtmek basit iştir.

H0 :

Ha:

Hipotezini test etmek istediğimizi varsayalım. Önem düzeyi a dır. d2 bilinmektedir. Belirli bir karşıt olarak alalım. Testin gücü

dır. karşıt hipotezi altında

istatistiği standart normal dağılıma sahiptir.

Bu nedenle dir. Buradan

ve

bulunur. Karşıt hipotez olduğunda sonuç yine doğrudur. İki yanlı test olması halinde,

iken belirli bir karşıt hipotez için 1-b gücünü bulunuz.

Örnek: H0 :m=68

Ha :m>68

Hipotezi a=0,05 ve s=5 iken test edelim. Gerçek ortalama 69 iken testin gücünün 0,95 olmasını istiyorsak örneklem büyüklüğü ne olmalıdır?

Çözüm:a=b =0,05 olduğundan Z1-a= Z1-b=1,645 bulunur. m=69 için d=1 alırız. O halde

bulunur.

Bu nedenle m gerçekten 69 olduğunda sıfır hipotezini % 95 olasılıkla reddedebilmemiz için 271 gözleme gereksinme vardır. Benzer yöntem iki kitle ortalaması karşılaştırıldığında testin belirli bir gücü için gereken N=N1= N2 örneklem büyüklüğünü belirtmek içinde kullanılır. Örneğin G1 ve G2 bilindiğinde

H0 :m1=m2

Ha :m1¹m2

Hipotezini reddetmek isteyelim. Karşıt hipotezi m1-m2=d alalım. Testin gücü

dır. Bu nedenle

yazılır. m1-m2=d karşıt hipotezi altında

istatistiÄŸi standart rasgele deÄŸiÅŸkendir. O halde

elde edilir. Buradan

ve böylece sonucunu çıkarırız. Tek yanlı test için, N=N1=N2 olduğunda gerekli örneklem büyüklüğü

ile verilmiştir. Kitle varyansı (iki örneklem olması halinde varyanslar) bilinmediğinde, örneklem büyüklüğü doğrudan doğruya seçilemez. Doğru değer m=m0+d olduğunda m=m0 hipotezinin test edilmesinde

istatistiği bildiğimiz t-dağılımına sahiptir. s nin belli bir tahmini olanaklı ya da d, s nin bir katı ise uygun örneklem büyüklüğünü belirtmek için olmayan t-dağılımına ilişkin tablolar vardır.

Örnek: 4 olan bir normal kitleden 1 birimlik bir rasgele örneklem seçmeyi tasarlayalım.Kitle ortalamasının 42 ya da 50 olduğunu biliyoruz.Bu nedenle

H0:m=42

H1:m=50

hipotezlerini test etmek istiyoruz.Bizim karar verme kuralımız şudur; 1.Örneklem değeri<43 ise m=42’yi

2.Örneklem değeri>43 ise m=50’yi kabul edeceğiz.

a)Verilmiş 43 değeri için I. ve II. tip hata yapma olasılıklarını bulunuz.

b)I. tip hata olasılığının 0,05 olduğu değer için II. tip hata olasılığını bulunuz.

c)II. tip hata olasılığının 0,10 olduğu değer için I. tip hata yapma olasılığını bulunuz.

Çözüm:a)a=P(X³43½m=42)

b)

Örnek:Standart sapması 20 olan bir normal kitleden 4 birimlik bir rasgele örneklem seçmeyi düşünüyoruz.Kitle ortalamasının 63 ya da 80 olduğu bilinmektedir.O halde

H0:m=80

H1:m=63

Hipotezlerini test etmek istiyoruz.Karar verme kuralımız şöyledir.

1. ise m=80

2. ise m=63 olduğu sonucuna varıyoruz.I ve II tip hata yapma olasılıklarını hesaplayınız.

Çözüm:

Araba akümülatörleri üreten bir firmanın müdürü belli bir modelin kapasitesinin 60 amper-saat ortalamalı ve 5 amper saat standart sapmalı olduğunu iddia etmektedir. Akümülatör satan bir yetkili satıcı akümülatörlerin düşük kalitede olup olmadığını saptamak amacı ile N= 100 birimlik rasgele örneklem seçiyor. amper-saat buluyor. Kabul edelim ki müşteri a=0,10 u belirtiyor. Akümülatörlerin kapasitesinin 60 amper-saatten önemli derecede küçük olup olmadığını belirtiniz. Kabul ve red bölgelerini gösteriniz. nin örnekleme dağılımını çiziniz.

Çözüm:

58,3 59,358 m=60

Sonuç: Akümülatörün kapasitesi 60 Amper-saatten önemli derecede küçüktür.

II. yol: a’>a ise H0: m=60 ı kabul ederiz.

aÂ’

olduÄŸundan H0 reddedilir.

Kategori: Bilim